En matemática, un grupo de Lie (nombrado así en honor de Sophus Lie) es una variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones de grupo (multiplicación e inversión) son funciones diferenciables o analíticas, según el caso. Los grupos de Lie son importantes en análisis matemático, física y geometría porque sirven para describir la simetría de estructuras analíticas. Fueron introducidos por Sophus Lie en 1870 para estudiar simetrías de ecuaciones diferenciales.
喺數學入面，一個李羣（以Sophus Lie命名）係一個實或者複可微流形，佢同時係一個群，而且群嘅運算（乘法同逆元）都係可微函數。李羣呢個概念對物理、幾何同數學分析都好重要，因爲佢可以描述「無限細嘅」對稱。李羣係喺1870年由Sophus Lie定義嘅，用嚟研究微分方程嘅對稱性。
Cada homomorfismo f: G → H de grupos de Lie induce un homomorfismo entre las álgebras de Lie correspondientes g y h. La asociación G|- > g es un funtor.
每一個李羣同態 都會誘導一個李代數同態 ，而 呢個對應其實係一個函子嚟。
Cada vector v en g determina una línea de flujo c: R → G cuya derivada en todo punto viene dado por el campo vectorial invariante por la izquierda correspondiente a v
對 入面每一個左不變向量場 v 我哋都可以定義一條積分曲線 ，符合微分方程
para todo s y t. La operación en el lado derecho es la multiplicación de grupo en G. La semejanza formal de esta fórmula con la que es válida para la función exponencial justifica la definición
正因爲呢個性質，c 又叫單參數子羣。亦都因爲呢個性質好似指數函數嘅性質，我哋定義
Esta función exponencial es una aplicación del álgebra de Lie g en el grupo de Lie G. Esta función exponencial es una generalización de la función exponencial para los números reales (puesto que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con la multiplicación usual), para los números complejos (puesto que C es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos diferentes a cero con la multiplicación usual) y para las matrices (puesto que M(n, R) con el conmutador es el álgebra de Lie del grupo de Lie GL(n, R) de todas las matrices inversibles).
呢個指數函數係由李代數 打去李羣 G 嘅一個函數，佢延伸咗好幾個比較爲人熟悉嘅概念：實數上嘅指數函數、複數上嘅指數函數同埋矩陣嘅指數函數，所以呢三個例子 、、其實都係李代數嚟。
La exponencial proporciona un difeomorfismo entre una vecindad de 0 en g y una vecindad de e en G. Debido a que la función exponencial es sobreyectiva en alguna vecindad N de e, es común llamar a los elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo G. De hecho, el subgrupo de G generado por N será el grupo entero G (supuesto que G es conexo).
指數函數提供咗一個由 入面 0 嘅鄰域打去 G 入面 e 嘅鄰域嘅可微同胚。由於呢個指數函數係 e 嘅鄰域係滿射，我哋有時會叫李代數入面嘅元素做 G 嘅無限細生成元。事實上，如果 G 係連通嘅話，任何 e 嘅鄰域都生成 G。
La función exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura de grupo local de cada grupo de Lie conexo, debido a la fórmula de Campbell-Hausdorff: existe una vecindad U del elemento cero de g, tal que para u, v en U se tiene
根據Baker-Campbell-Hausdorff公式，指數函數同埋李代數結構（啫係個李括號）可以完全決定 G 入面 e 嘅一個鄰域嘅李羣結構：存在一個 入面 0 嘅鄰域 U，使得對任何 ，我哋都有
Véase abajo para una lista más completa de ejemplos.
雖然歐幾里得空間係一個實李羣（用向量加法作爲群嘅運算），典型嘅李羣例子係一啲可逆矩陣群，例如 SO(3)，由三維空間入面嘅旋轉組成。下面有更多李羣嘅例子。
donde los términos omitidos son conocidos e implican los corchetes de Lie de cuatro o más elementos. En caso de que u y v conmuten, esta fórmula se reduce a la ley exponencial familiar exp(v) exp(u) = exp(u + v).
當中每一項嘅系數都可以計到出嚟，同埋每一項都係 u 同 v 嘅李括號嚟。如果 u 同 v 係交換嘅話，條式就變咗我哋熟悉嘅 exp(u) exp(v) = exp(u+v)。
La estructura global de un grupo de Lie no está totalmente determinada, en general, por su álgebra de Lie; vea la tabla abajo con ejemplos de varios grupos de Lie que comparten la misma álgebra de Lie. Podemos decir sin embargo que un grupo de Lie conexo es simple, semisimple, resoluble, nilpotente, o abeliano si y solamente si su álgebra de Lie tiene la propiedad correspondiente.
李代數並唔係完全一一對應到一個李羣，可以睇吓下面個表，有啲唔同嘅李羣係有同一個李代數嘅，但係亦有啲李羣嘅性質係可以由佢嘅李代數反映出來，例如簡單、半簡單、可解、零冪同阿貝爾。
Por otra parte cada homomorfismo entre las álgebras de Lie procede de un homomorfismo único entre los correspondientes grupos de Lie simplemente conexos.
如果我哋淨係考慮簡單連通李羣嘅話，李代數同李羣就一一對應喇：任何有限維李羣 都對應住（同構嚟講）唯一一個簡單連通李羣，而且呢個時候我地可以掉反轉：任何李代數同態 都可以誘導一個李羣同態 ，當中 G 同 H 都係簡單連通李羣。
Lista de algunos grupos de Lie reales y de sus álgebras de Lie
實李羣同對應嘅李代數列表
Lista de algunos grupos de Lie complejos y de sus álgebras de Lie
複李羣同對應李代數列表
Lista de algunos grupos de Lie de dimensión infinita
無限維李羣例子
Tipos de grupos de Lie
李羣嘅分類
Referencias
攷
Véase también
睇埋
E8 (matemáticas) Una teoría del todo excepcionalmente simple Álgebra de Virasoro Álgebra de Witt
E8 (數學) es:Una teoría del todo excepcionalmente simple Virasoro代數 Witt代數
Se clasifican los grupos de Lie con respecto a sus propiedades algebraicas (simple, semisimple, resoluble, nilpotente, abeliano), su conexidad (conexo o no conexo) y su compacidad.
我地可以用代數性質將李羣分類，例如簡單、半簡單、可解、零冪、阿貝爾等等，或者用拓撲性質，例如連通同緊緻。
Homomorfismos e isomorfismos
同態同同構
Si G y H son grupos de Lie (reales o complejos ambos), entonces un morfismo de grupos de Lie f: G → H es un homomorfismo de grupos que es también una función diferenciable o analítica. (Se puede demostrar que es equivalente a requerir solamente que sea función continua.) La composición de dos tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie (reales o complejos), junto con estos morfismos, forma una categoría.
如果 G 同 H 係李羣，咁一個李羣同態 ☃☃ 就係一個群同態，佢同時係一個可微函數（可以證明其實只需要要求佢係連續函數）。李羣同態嘅複合都會係返一個李羣同態，所以李羣同李羣同態形成一個範疇。如果存在一個由 G 去 H 嘅雙射李羣同態，佢嘅反函數都係李羣同態嘅話，我哋就話 G 同 H 係同構嘅。
El álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie
李羣對應嘅李代數
A cada grupo de Lie, podemos asociar un álgebra de Lie que captura totalmente la estructura local del grupo. Esto se hace como sigue. Un campo vectorial en un grupo de Lie G se dice invariante por la izquierda si verifica lo siguiente.
對每一個李羣，我哋可以幫佢對應一個李代數，呢個李代數可以完全記錄個李羣嘅局部結構。 首先，我地定義咗左不變向量場先：對任何嘅 ， 係一個由 打返去自己到嘅微分同胚，一個向量場 符合 就叫做左不變向量場喇。
En un grupo de Lie, los campos vectoriales invariantes por la izquierda forman una subálgebra, el álgebra de Lie asociada a G, denotado generalmente por una g gótica ( g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ). Esta álgebra de Lie g es finito-dimensional (tiene la misma dimensión que la variedad G) lo que la hace susceptible a las tentativas de clasificación. Clasificando g, uno puede también conseguir un acercamiento al grupo de Lie G. La teoría de representación de los grupos simples de Lie es el mejor y más importante ejemplo.
喺一個可微流形上面，所有向量場組成一個李代數（用李括號），係李羣上面（記得李羣都係一個可微流形），左不變向量場形成咗一個子李代數，呢個就係 G 對應嘅李代數喇，通常會用哥特體嘅 g 嚟表示（）。呢個李代數 係有限維嘅（事實上，佢嘅維度同流形 G 嘅維度一樣），所以我哋可以嘗試進行分類。分類 對理解 G 都有幫助，李羣同李代數嘅表示論就係例子。
S 1 × S 1 {\displaystyle \scriptstyle S^{1}\times S^{1}} es un ejemplo de grupo de Lie homeomorfo al toro .
S 1 × S 1 {\displaystyle \scriptstyle S^{1}\times S^{1}} 係李羣嘅例子，同環面同胚。
La teoría de cuerpos es una rama de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos. Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, sustracción, multiplicación y división están bien definidas.
場論係數學入面嘅一個分支，研究場嘅數學性質。場係一個數學結構，入面可以做加、減、乘、除呢四種數學運算。
Extensiones de un cuerpo
場嘅擴展
Clausuras de un cuerpo
場嘅閉包
El concepto de cuerpo. fue usado implícitamente por Niels Henrik Abel y Évariste Galois en su trabajo sobre resolución de ecuaciones.
場嘅概念，早係阿貝爾同伽羅華研究解方程嗰陣已經隱含哋出現咗。
En 1871, Richard Dedekind, al conjunto de los números reales o complejos los cuales son cerrados bajo las cuatro operaciones aritméticas como "cuerpo".
1871年，戴德金引入咗「體」(德文：Körper) 呢個術語，指嘅係一啲由實數或複數組成嘅集合，呢啲集喺四則運算之下係封閉嘅。
Una estructura que satisface todas las propiedades de un cuerpo con la posible excepción de conmutatividad, se le llama actualmente anillo de división o álgebra de división o o algunas veces como cuerpo torcido. También es ampliamente utilizado el término cuerpo no conmutativo. En francés, los cuerpos son llamados corps y en alemán se conocen como Körper, de ahí que se use la letra K {\displaystyle \mathbb {K} } en tipografía blackboard bold para denotar a un cuerpo.
係抽象代數發展嘅初期，場嘅定義係唔要求乘法交換嘅，而宜家叫「場」嘅數學結構，當時叫做「交換場」或者「有理域」，係宜家嘅用法入面，場係一定交換嘅；符合除咗乘法交換律以外所有性質嘅數學結構叫做除法環，有啲人亦都會叫佢做非交換場。係法文入面，場叫做 corps ，而德文入面，場叫做 Körper。正因爲場嘅德文係 K 字頭，宜家通常都會用 或者 k 嚟表示一個場。場呢個概念最開頭係用嚟證明，五次方或以上嘅多項式係無公式解。
Una extensión de un cuerpo k es justamente un cuerpo K que contiene a k como un subcuerpo. Se distingue entre extensiones que tienen cualidades diferentes. Por ejemplo, una extensión K de un cuerpo k es llamada algebraica, si cada elemento de K es una raíz de algún polinomio con coeficientes en k.
一個場 k 嘅擴展其實就係一個大啲嘅場 K，個 K 裝住個 k 作爲佢嘅子場。場擴展可以再根據擴展嘅性質再作分類，例如代數擴展就係指大場 K 入面每一個元素都係細場 k 係數嘅多項式嘅解，相反嘅就叫做超越擴展。伽華理論嘅目的就係研究場嘅代數擴展。
Dado un cuerpo k, varios tipos de clausura de k pueden ser introducidas. Por ejemplo, la clausura algebraica, la clausura separable, la clausura cíclica etc. La idea es siempre la misma: Si P es una propiedad de cuerpos, entonces una P-clausura de k es un cuerpo K que contiene a k, y que tiene la propiedad P, la cual es mínima en el sentido de que no hay subcuerpo apropiado de K que contiene k y tiene la propiedad P. Por ejemplo, si se toma P(K) como la propiedad de que "todo polinomio no constante f en K[t] tiene una raíz en K", entonces una P-clausura de k es justamente una clausura algebraica de k. En general, si las P-clausuras existen para alguna propiedad P y cuerpo k, son todas isomorfas.
畀一個場 k，可以定義幾種唔同嘅閉包，例如代數閉包、可分閉包等等。佢哋最核心嘅諗頭都係一樣嘅：假設 P 係一個擴張場嘅性質（例如代數封閉、可分等等），咁 k 嘅一個 P-閉包就係一個場 K，佢係 k 嘅一個擴張場，有 P 呢一個性質，同時佢係最細嘅，意思啫係其他有 P 呢個性質嘅擴張場都裝咗喺 K 入面。例如，假設 P(K) 性質係指「所有喺 K[t] 入面嘅非常數多項式喺 K 入面都有解」，咁 P-閉包其實正正就係代數閉包。一般嚟講， 如果一個場 k 嘅 P-閉包係存在嘅話，佢唔係唯一，但係佢哋全部都係同構嘅，只不過未必得一個同構，甚至無一個首選嘅同構。
Aplicaciones de la teoría de cuerpos
應用
El concepto de cuerpo se usa, por ejemplo, en la definición de vectores y matrices, dos estructuras en álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario.
向量同埋矩陣嘅定義入面會用到場，而呢兩個都係綫性代數入面基本嘅概念。數論、伽華理論同埋編碼理論都會用到有限場。代數幾何入面，一個幾何物體上面嘅函數場係研究幾何性質好有用嘅工具。而二元場（特徵數係2嘅場）對電腦科學好有用。
Cuerpo Anillo Espacio vectorial
場 環 向量空間
En 1881, Leopold Kronecker definió lo que él llamo "dominio de racionalidad", que es, de hecho, un cuerpo de polinomios en términos modernos.
1881年，Kronecker定義咗一樣嘢叫做「Rationalitätsbereich」，大約可以譯做「有理域」，其實用而家嘅術語嚟講，就係有理函數場。
En 1893, Heinrich Martin Weber dio la primera definición clara de cuerpo abstracto.
1893年，Weber首次比出一個抽象場嘅定義；同年，Moore引入咗英文 Field 呢個術語。
En 1910 Ernst Steinitz publicó el artículo Algebraische Theorie der Körper (alemán: teoría algebraica de cuerpos), que fue muy influyente. En este artículo él estudió axiomáticamente las propiedades de los cuerpos y definió varios conceptos de teoría de cuerpos importantes como cuerpo primo, cuerpo perfecto y el grado de trascendencia de una extensión de cuerpos.
1910年，Steinitz 發佈咗佢篇論文，名爲 Algebraische Theorie der Körper （德文：場嘅代數理論），呢篇論文影響深遠，佢用公理嚟研究場嘅唔同性質，亦都定義咗好多場論入面重要嘅概念，例如質場、完美場同埋擴張場嘅超越次數等等。
Galois, que no tenía el término "cuerpo" en mente, ha sido honrado por ser el primer matemático que enlazó la teoría de grupos y la teoría de cuerpos. La teoría de Galois es llamada así en su honor. Sin embargo, fue Emil Artin el primero que desarrolló la relación entre grupos y cuerpos en gran detalle durante 1928-1942.
至於伽羅華，雖然係佢嘅年代係無場呢個概念，但係佢被譽爲第一個數學家連接起羣論同場論，而其實，要去到 1928 至 1942 年，先至由 Emil Artin 第一個去詳細研究羣同場之間嘅關係。
Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra, puesto que proporcionan una generalización útil de varios sistemas de números, como pueden ser los números racionales, números reales, y los números complejos. En particular, las regla comunes de asociatividad, conmutatividad y distributividad se cumplen. Los cuerpos también aparecen en muchas otras de las matemáticas; véase los ejemplo abajo.
場係代數入面好重要嘅概念，因爲佢推廣咗有理數、實數同埋複數等等數字系統嘅概念。當中最重要嘅係，加法同乘法嘅結合性質、交換性質，同埋乘法分配性質都保留咗。場亦都喺唔同嘅數學領域出現，可以睇吓下面嘅例子。
Kwong Wah Po («Diario Popular Chino»)[1] es el único periódico de Cuba que se edita en idioma chino desde el Barrio Chino de La Habana.[2]
《光華報》（）[1]係古巴唯一一份中文報紙，喺亞灣埠唐人街出版。[二]
Referencias
參考
Mapuche / mapudungún / araucano Mapudungun, mapundungun, mapuchedungun, chedungun Hablado en Chile Chile Argentina Región Araucanía Biobío Metropolitana de Santiago Los Ríos Los Lagos Neuquén Río Negro Chubut Santa Cruz Hablantes ±200 000[1] Puesto No en los 100 mayores (Ethnologue, 2013) Familia Aislada Escritura Alfabeto latino Estatus oficial Oficial en Galvarino[2][3] (Chile) Padre Las Casas[4] (Chile) Temuco[5] (Chile) Códigos ISO 639-2 arn ISO 639-3 arn [editar datos en Wikidata]
馬普切文 （馬普切文：Mapudungun），係智利馬普切人用嘅語言。 Category:語言楔類
La salida en primavera de la dama Guoguo (虢國夫人遊春圖) era una obra del pintor chino Zhang Xuan (chino: 張萱; pinyin: Zhāng Xuān), datada en la era Kaiyuan (開元 Kāi yuán, 713-741) del reinado del emperador Xuanzong (唐玄宗) de la dinastía Tang. La obra original se ha perdido. No obstante, el Museo Provincial de Liaoning (Shenyang) conserva una copia de esta obra de Zhang Xuan,[1] realizada con tinta y color sobre un rollo de seda.[1][2] La copia fue hecha durante la dinastía Song del Norte (960-1127),[1][2] y en ocasiones ha sido atribuida al emperador chino Song Huizong (1082-1135).[2] Subsiste otra copia realizada por el pintor Li Gonglin (Museo Nacional del Palacio, Taipéi).
虢國夫人遊春圖係唐朝開元年間（713年—741年）宮廷畫家張萱忌一幅畫作。
La dama Guoguo (虢國夫人) era una de las hermanas de la concubina Yang Guifei, que alcanzó un enorme poder en China tras haberse enamorado de ella el emperador Xuanzong. En la obra, la dama Guoguo ha sido representada en el centro de una pequeña comitiva, con un cuerpo regordete y un comportamiento tranquilo. De hecho, es la representación pictórica de una hermosa dama transmitida con una fina pincelada.
虢國夫人係楊貴妃個家姐，同楊貴妃一樣深受唐玄宗寵愛。畫中，虢國夫人同秦國夫人居中，神態從容，體型豐滿，前後簇擁，確係一幅傳世忌工筆仕女畫。
虢國夫人遊春圖（張萱） Referencias Enlaces externos
虢國夫人遊春圖（張萱）