# gu/01fktUkl0vx8.xml.gz
# nb/01fktUkl0vx8.xml.gz
(src)="1"> અંકગણિત આપણે ૬૫ અને ૧ નો ગુણાકાર કરવાનો છે શાબ્દિક અર્થ અનુસાર , આપણે ૬૫ નો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે . ગુણાકાર ને , ગુણાકાર ના ચિન્હ ( x ) અથવા તો બિંદુ ( . ) તરીકે પણ લખી શકાય . આવી રીતે -- આનો અર્થ ૬૫ ગુણ્યા ૧ જ થાય . પણ આનો અર્થ બે રીતે કરી શકાય તમે ૬૫ને એકવાર જોઈ શકો અથવા ૧ ને ૬૫ વાર જોઈ ને બધાનો સરવાળો કરી શકો કોઈ પણ રીતે , તમારી પાસે ૧ , ૬૫ નો આંકડો હોય તો વસ્તુત : એને ૬૫ જ ગણાય કોઈપણ આંકડા ને ૧ વડે ગુણવાથી એજ આંકડો મળે પછી તે કોઈપણ આંકડો હોય જે પણ આંકડો ૧ થી ગુણાય તે તેજ આંકડો રહે હું જો અહીંયા કોઈપણ અજ્ઞાત સંખ્યાને એક થી ગુણ્યા કરું હું એમાં ગુણાકારનું ચિન્હ પણ મૂકી દઉં તો પણ મને તેની તેજ અજ્ઞાત સંખ્યા મળે જો હું ૩ ગુણ્યા ૧ કરું તો મને ૩ મળે જો હું ૫ ગુણ્યા ૧ કરું તો મને ૫ મળે આનો એટલો જ અર્થ થાય કે , એક ૫ વાર જો હું , ધારોકે -- ૧૫૭ ગુણ્યા ૧ કરું , તો જવાબ ૧૫૭ જ રહે તમને ખ્યાલ આવી ગયો હશે .
(trg)="1"> Vi er bedt om å multiplisere 65 ganger 1 .
(trg)="2"> Så bokstavelig talt , så trenger vi bare å multiplisere 65 , og vi kunne skrevet det som et ganger tegn slik , eller så kunne vi skrive det som en dott slik -- men dette betyr 65 ganger 1 .
(trg)="3"> Og det er to måter å tolke dette på .
# gu/0HgfeWgB8T8n.xml.gz
# nb/0HgfeWgB8T8n.xml.gz
(src)="1"> ૧૫, ૬ અને ૧૦ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી એટલે કે લસાઅ શુ છે ? લસાઅ એટલે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી . અને અવયવી એટલે કે ગુણક . તો લસાઅ એટલે આ બધા આંકડા ઑ ના જે પણ અવયવી થાય તે બધા અવયવી માં નાનામાં નાનો અવયવી . અને હું માનું છું તમને ખબર ના પડી . તો ચાલો આ પ્રશ્ન ઉકેલીએ . ચલો ૧૫ , ૬ અને ૧૦ ના જૂદા જૂદા અવયવી વિશે વિચારીએ . અને પછી તેમાનો નાનામા નાનો સામાન્ય અવયવી શોધીએ . તો ચલો ૧૫ ના અવયવી એટલે કે ગુણકો શોધીએ . તે , ૧૫ ગુણ્યા ૧ એટલે ૧૫ , ૧૫ ગુણ્યા ૨ એટલે 30 થાય . તમે ૩૦ માં ૧૫ ઉમેરો તો તમને ૪૫ મળશે , બીજા ૧૫ ઉમેરો ૬૦ મળશે , ૧૫ ઉમેરો ૭૫ મળશે , ૧૫ ઉમેરો ૯૦ મળશે , ૧૫ ઉમેરો ૧૦૫ મળશે અને જો આ બધા અવયવી માં થી ઉપર ની સંખ્યા ઑ નો કોઈ સામાન્ય અવયવી નથી તો તમારે હજિ આગળ કરવુ પડ્શે . પણ હુ અહિ થોભી જઈશ . તો આ બધા ૧૦૫ સુધી ના ૧૫ ના અવયવી છે , ચલો હવે ૬ ના અવયવી શોધીએ .
(trg)="1"> Hva er den minste felles multiplum , forkortet som MFM , av 15 , 6 og 10 ?
(trg)="2"> Så MFM- en er akkurat hva ordet sier , det er den minste felles multiplumet av disse tallene .
(trg)="3"> Og jeg vet at det sannsynligvis ikke hjalp deg stort .
(src)="2"> ૬ ના અવયવી એક વખત છ તે છ , બે વખત 6 તે 12, ત્રણ વખત 6 તે 18 , ચાર વખત 6 તે 24 , 5 વખત 6 તે 30 , 6 વખત તે 36 , 7 વખત 6 તે 42 , 8 વખત 6 તે 48 9 વખત 6 તે 54, 10 વખત તે 60 .
(trg)="13"> La oss gjøre multiplikasjon av 6 :
(trg)="14"> 1 ganger 6 er 6 , 2 ganger 6 er 12 , 3 ganger 6 er 18 , 4 ganger 6 er 24 , 5 ganger 6 er 30 , 6 ganger 6 er 36 , 7 ganger 6 er 42 , 8 ganger 6 er 48 , 9 ganger 6 er 54 , 10 ganger 6 er 60 .
(src)="3"> ૬૦ એ રસપ્રદ છે તે ૧૫ અને ૬ નો સામાન્ય અવયવી છે . પણ આપણે પાસે અહીં ૨ અવયવી છે . આપણી પાસે અહીં ૩૦ છે અને અહીં પણ ૩૦ છે . એક ૬૦ અને બીજા ૬૦ . તેથી આપણી પાસે ૩૦ અને ૬૦ એમ બે સામાન્ય અવયવી છે . જો આપણે 15 અને 6 નો નાનામાં નાનો સામાન્ય અવયવી જોઈતો હોય તો , તે ૩૦ છે . તો ૧૫ અને ૬ નો લસાઅ ૩૦ થાય . નાનામાં નાનો અવયવી અહી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે 30 છે 2 વખત 15 તે 30 અને 5 વખત 6 તે 30 . તેથી આ ચોક્કસ સામાન્ય અવયવી છે અને બંનેના બધા અવયવીમાં નાનામાં નાનો છે .
(trg)="15"> 60 ser alt interessant ut , fordi den har et felles multiplum med både 16 og 60 .
(trg)="16"> Selv om vi har to av dem her borte .
(trg)="17"> Vi har 30 , og vi har 30 , og vi har 60 og 60 .
(src)="4"> 60 પણ સામાન્ય અવયવી છે પણ તે મોટો છે . અહી 30 તે સૌથી નાનો અવયવી છે આપણે 10 લીધા નથી ચાલો 10 અહી લઈએ . હું માનું છું કે તમે સમજો છો કે આપણે શું કરવા જઈ રહ્યા છીએ ચાલો 10 ના અવયવી લઈએ, 10, 20, 30 , 40 .... આપણે વધારે આગળ આવી ગયા . આપણને ૩૦ મળ્યા જ છે .
(trg)="25"> 60 er også en felles multiplikasjon , men det er en større en .
(trg)="26"> Dette er det minste felles multiplum .
(trg)="27"> Så dette er 30 .
(src)="5"> ૩૦ એ ૧૫ અને ૬ ના સામાન્ય અવયવી છે અને તે નાના મા નાનો સામાન્ય અવયવી છે . તેથી ૧૫, ૬ અને ૧૦ નો લસાઅ = ૩૦ થાય . સામાન્ય અવયવી છે . આ એક રીત છે લઘુત્તમ અવયવી શોધવાની . એટલે કે દરેક સંખ્યાના અવયવી શોધો અને સરખાવો . અને જુઓ કે તેમની વચ્ચે નાનામાં નાનો સામાન્ય અવયવી કયો છે . ચલો હવે બિજી રીતથી કરીએ , કે જે અવિભાજ્ય અવયવ ની રીત છે અને લસાઅ તે એ સંખ્યા છે જેના ઘટકો તે આ સંખ્યાઓ ના અવિભાજ્ય અવયવ ધરાવે છે તો મને બતાવવા દો કે તેનો મતલબ શુ થાય . તો તમે તે આવી રીતે કરી શકો , ૧૫ એ ૩ x ૫ ની સમાન છે .
(trg)="33"> Fordi vi allerede har kommet til 30 , og 30 er en felles multiplum av 15 og 6 og det er det minste felles multiplumet av dem alle .
(trg)="34"> Så det er et faktum at MFM- en av 15 , 6 , og 10 er lik 30 .
(trg)="35"> Dette er en måte å finne det minste felles multiplum .
(src)="6"> ૩ અને ૫ બન્ને અવિભાજ્ય સંખ્યા છે .
(trg)="39"> Så du kan gjøre det på denne måten , eller du kan si at 15 er det samme som 3 ganger 5 , og det var alt .
(trg)="40"> Det er dens primfaktorisering , 15 er 3 ganger 5 , siden både 3 og 5 er primtall .
(src)="7"> ૬ એ એ જ રીતે ૨ * 3 છે અને , ૨ અને ૩ અવિભાજ્ય છે . આપણે કહી શકીએ કે 10 તે 2 વખત 5 છે . બંને 2 અને 5 અવિભાજ્ય છે . તેથી આપણે 10 ના અવિભાજ્ય અવયવો મળી ગયા . તો ૧૫ , ૬ અને ૧૦ નો લસાઅ માં આ બધા અવિભાજ્ય અવયવો હોવા જોઈએ . એટલે કે હું એમકહેવા માંગું છું કે , લસાઅ ને 15 વડે ભાગી શકાય તેવો હોવા માટે , લસાઅ ના અવિભાજ્ય અવયવ માં ઓછા માં ઓછા એક 3 અને એક 5 હોવા જોઈએ . એટલે કે ઓછા માં ઓછા એક 3 અને એક 5 જોઈએ 3 અને 5 અવિભાજ્ય હોવાથી એમ કહી શકાય કે તે સંખ્યા 15 વડે ભાગી શકાય લસાઅ ને 6 વડે ભાગી શકાય તેના ઓછા માં ઓછા 2 અને 3 અવિભાજ્ય અવયવો હોવા જોઈએ . આપણી પાસે ૩ તો છે જ . આપણને માત્ર એક જ 3 જોઈએ તેથી એક 2 અને એક 3 . તે 3 ગુણ્યા 2 એટલે 6 . એટલે કે આપનો લસાઅ એ 6 વડે ભાગી શકાય તેવો છે . અને અહી 15 છે . અને હવે 10 વડે ભાગાકાર થઇ શકે તે માટે ઓછા માં ઓછો એક 2 અને એક 5 હોવો જોઈએ . અહી 2 હોવા તે જરૂરી છે . તેથી ૨ * ૩ * ૫ મા ૧૦ , ૬ અને ૧૫ ના બધા અવિભાજ્ય અવયવો છે અને તેથી તે આપનો લસાઅ છે . તેથી જો આપણે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને
(trg)="41"> Vi kan si at 6 er det samme som 2 ganger 3 .
(trg)="42"> Det er alt , det er dens primfaktorisering , siden både 2 og 3 er primtall .
(trg)="43"> Og så kan vi si at 10 er det samme som 2 ganger 5 .
(src)="8"> ૨ * ૩ = ૬ અને ૬ * ૫ = ૩૦ મળે .
(trg)="58"> Så det er det minste felles multiplum .
(src)="9"> બન્ને રીતમા આપણને સમાન સંખ્યા જ મળી . અને તમે જોઈ શકો છો કે તે કઈ રીતે સાચું મળે છે . જો તમે ઘણી જટિલ સંખ્યાઓ માટે ગણતરી કરો તો આ બીજી રીતે વધારે સારી છે એવી સંખ્યા ઑ માટે કે જેમાં તમારે લાંબો ગુણાકાર કરવાનો હોય . સારું , પણ બંને માંથી કોઈપણ રીત લસાઅ શોધવા માટે ની સાચી રીત છે .
(trg)="59"> Så hvis vi multipliserer ut dette , så vil du få 2 ganger 3 er 6 , 6 ganger 5 er 30 .
(trg)="60"> Så uansett .
(trg)="61"> Forhåpentligvis så resonnerer disse litt med deg og du ser hvorfor dette er forståelig .
# gu/0Q3fwpNahN56.xml.gz
# nb/0Q3fwpNahN56.xml.gz
(src)="1"> દાખલો જે પહેલાં કર્યો તે ગુણાકાર હતો . સ્વાગત છે આપનું , નકારાત્મક સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર ના વિડીઓમાં ચાલો શરૂ કરીએ . મને લાગે છે કે તમને નકારાત્મક સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે તે કરતાં ઘણાં સરળ જણાશે
(trg)="3"> Jeg tror du kommer til å oppdage at multiplikasjon og divisjon av negative tall er mye enklere enn det først kan se ut .
(src)="2"> જે હું તમને સરળતાથી સમજાવીશ
(trg)="5"> Og jeg kommer til å lære deg -- kommer til å gi deg mye mer intuitive forklaringer på hvorfor disse reglene fungerer .
(src)="3"> તો આના મૂળભૂત નિયમો છે કે જયારે તમે બે નકારાત્મક સંખ્યાઓને ગુણો , જેમકે નકારાત્મક ૨ ગુણ્યા નકારાત્મક ૨ . તો પહેલાં એ સમજો કે બેય સંખ્યાઓમાં નકારાત્મક સંજ્ઞા છેજ નહિ અને તે પ્રમાણે , ૨ ગુણ્યા ૨ બરાબર ૪ . અને અહિયા એવું થશે કે નકારાત્મક ગુણ્યા નાકારતમાં , બરાબર સકારાત્મક . તો ચાલો પહેલો નિયમ લખીએ . એક નકારાત્મક ગુણ્યા એક નકારાત્મક બરાબર એક સકારાત્મક .
(trg)="6"> Så den grunnleggende regelen er at når du ganger to negative tall
(trg)="7"> la oss si jeg hadde - 2 ganger - 2 først ser du på hvert av tallene som om det ikke var noe minus fortegn .
(trg)="8"> Vel , sier du , 2 ganger 2 er lik 4 .
(src)="4"> નકારાત્મક ૨ ગુણ્યા સકારાત્મક ૨ હોય તો શું થાય ? એ સંજોગમાં , ચાલો પહેલાં જોઈએ કે બેઉ સંખ્યાઓ ને વગર સંજ્ઞાએ જોઈએ આપણને ખ્યાલ છે કે ૨ ગુણ્યા ૨ બરાબર ૪ થાય . પણ અહિયાં એક નકારાત્મક અને એક સકારાત્મક ૨ છે , અને તેનો મતલબ એ કે , જયારે એક નકારાત્મક ને ગુણો એક સકારાત્મક સાથે તો તમને એક નકારાત્મક મળે છે . તો એ છે બીજો નિયમ . નકારાત્મક ગુણ્યા સકારાત્મક બરાબર નકારાત્મક . સકારાત્મક ૨ ગુણ્યા નકારાત્મક ૨ નો જવાબ શું આવે ? મને લાગે છે કે તમે આનો ખરો અંદાજ લગાવી શકશો , કેમકે આ બન્ને સરખા હોઈ મારા ખ્યાલ થી તે સકર્મક ગુણ છે , ના , ના મને લાગે છે કે તે વહેવારિક ગુણ છે મારે આને યાદ રાખવું પડશે પણ ૨ ગુણ્યા નકારાત્મક ૨ , તે નકારાત્મક ૪ બરાબર છે . તો અહિયાં છે છેલ્લો નિયમ , કે સકારાત્મક ગુણ્યા નકારાત્મક પણ નકારાત્મક બરાબર હોય છે . અને આ છેલ્લા બે નિયમો , એક રીતે સરખા છે . એક નકારાત્મક ગુણ્યા સકારાત્મક એ નકારાત્મક , અથવા એક સકારાત્મક ગુણ્યા નકારાત્મક પણ નકારાત્મક . તમે એમ પણ કહી શકો કે જયારે બન્ને સંજ્ઞાઓ અલગ હોય , અને તેનાં ગુણાકાર કરો , તો તમને એક નકારાત્મક સંખ્યા મળશે . અને તમને પહેલાથીજ ખ્યાલ હશે કે સકારાત્મક ગુણ્યા સકારાત્મક તે તો સકારાત્મક જ હોય . તો ચાલો ફરી એક વાર જોઈએ નકારાત્મક ગુણ્યા નકારાત્મક એટલે સકારાત્મક નકારાત્મક ગુણ્યા સકારાત્મક એટલે નકારાત્મક સકારાત્મક ગુણ્યા નકારાત્મક એટલે નકારાત્મક અને સકારાત્મક ગુણ્યા સકારાત્મક બરાબર સકારાત્મક . મને લાગે છે કે છેલ્લે તમે મુંઝવાયા હશો તો હું તેને તમારા માટે સરળ બનાવું જો હું તમને કહું કે જયારે તમે ગુણાકાર કરો છો ત્યારે બન્ને સરખી સંજ્ઞાઓ નો જવાબ હમેશા સકારાત્મક હોય . અને બન્ને જુદી સંજ્ઞાઓ નો જવાબ નકારાત્મક હોય
(trg)="12"> Hva om det var - 2 ganger +2 ?
(trg)="13"> Vel , i dette tilfellet , la oss først se på to tall uten fortegn .
(trg)="14"> Vi vet at 2 ganger 2 er 4 .
(src)="5"> તો તે પ્રમાણે જોઈએ તો ૧ ગુણ્યા ૧ બરાબર ૧ હોય અને નકારાત્મક ૧ ગુણ્યા નકારાત્મક ૧ બરાબર પણ સકારાત્મક ૧ જ હોય . અથવા તો હું કહું કે ૧ ગુણ્યા નકારાત્મક ૧ બરાબર નકારાત્મક ૧ , નકારાત્મક ૧ ગુણ્યા ૧ બરાબર પણ નકારાત્મક ૧ જ હોય . તમે જોયું કે અહિયાં નીચે બે દાખલાઓ મા બે અલગ સંજ્ઞાઓ છે , સકારાત્મક ૧ અને નકારાત્મક ૧ ? અને ઉપલા બે દાખલાઓમાં , અહિયાં બન્ને ૧ સકારાત્મક છે . અને આ બન્ને ૧ નકારાત્મક છે . તો ચાલો થોડાંક દાખલા કરીએ , અને આશા છે કે તે આ બધું સમજાવશે , અને તમે પણ અહિયા અભ્યાસ દાખલા કરી શકો છો અને હું તમને યુક્તિ પણ આપીશ
(trg)="38"> Så det ville vært enten 1 ganger 1 er lik 1
(trg)="39"> Eller om jeg sa - 1 ganger - 1 er lik positiv 1 også eller om jeg sa 1 ganger - 1 er lik - 1 , eller
(trg)="40"> - 1 ganger 1 er lik - 1
(src)="6"> તો જો હું કહું કે નકારાત્મક ૪ ગુણ્યા સકારાત્મક ૩ , તો ૪ ગુણ્યા ૩ એટલે ૧૨ , અને અહિયાં એક નકારાત્મક છે અને એક સકારાત્મક . તો અલગ સંજ્ઞાઓ નો મતલબ નકારાત્મક . તો નકારાત્મક ૪ ગુણ્યા ૩ બરાબર નકારાત્મક ૧૨ . તો અહી સમજાવ્યા પ્રમાણે આપણે કહીએ છીએ કે નકારાત્મક ૪ ને ૩ ગુણ્યા , તે નકારાત્મક ૪ વત્તા નકારાત્મક ૪ વત્તા નકારાત્મક ૪ , એટલે કે નકારાત્મક ૧૨ . જો તમે નકારાત્મક સંખ્યાઓના વત્તા અને બાદ ની ગણતરી વાળો વિડીઓ ન જોયો હોય તો હું તમને તે જોવાની પહેલાં સલાહ આપીશ . ચાલો હજી એક દાખલો કરીએ જો હું કહું કે ઓછા ૨ ગુણ્યા ઓછા ૭ . અને તમે વિડીઓને ગમે ત્યારે થોભાવી અને જુઓ કે તમને કેટલી સમાજ પડી અને ફરી થી શરૂ કરો કે જવાબ શું આવે છે . તો , ૨ ગુણ્યા ૭ એટલે ૧૪ , અને અહિયાં બન્ને સંજ્ઞાઓ સરખી છે , તો તે છે સકારાત્મક ૧૪ -- સામાન્ય રીતે તમે સકારાત્મક સંજ્ઞા ન લાખો તો ચાલે પણ આ વધુ સ્વચ્છ છે . અને જો હું લઉં -- જરા વિચાર કરવા દો -- ૯ ગુણ્યા નકારાત્મક ૫ . તો , ૯ ગુણ્યા ૫ એટલે ૪૫ . અને ફરી એક વાર , સંજ્ઞાઓ અલગ છે તો આ નકારાત્મક હોય . અને અંતે જો હું લઉં -- હું લઈશ જરા અલગ સંખ્યાઓ -- ઓછા ૫ ગુણ્યા ઓછા ૧૧ . તો , ૬ ગુણ્યા ૧૧ એટલે ૬૬ અને ત્યારબાદ તે નકારાત્મક અને નકારાત્મક , એટલે સકારાત્મક . હું તમને હજી એક યુક્તિ વાળો દાખલો આપું છું . શૂન્ય બરાબર નકારાત્મક ૧૨ એટલે ? તો તમે કહેશો કે બન્ને સંજ્ઞાઓ અલગ છે , પણ ૦ તો ન સકારાત્મક છે અને ન નકારાત્મક અને ૦ બારાબર કંઈપણ તે તોય ૦ જ હોય . તેમાં કોઈ ફરક નથી પડતો કે તમે તેને ગુણ્યા કરો તે સંખ્યા નકારાત્મક સંખ્યા છે કે સકારાત્મક સંખ્યા .
(trg)="45"> Så om jeg sa negativ 4 ganger positiv 3 , vel 4 ganger 3 er 12 , og vi har et negativ og et positiv .
(trg)="46"> Forskjellige tegn betyr negativt .
(trg)="47"> Negativ 4 ganger 3 er negativ 12 .